De nombreux insectes comme certains vers, ou encore des papillons,
produisent de la soie. Cependant, celle de l'araignée se distingue de ces
derniers grâce à ses étonnantes caractéristiques.
Selon les scientifiques, la toile d'araignée constitue l'un des
matériaux les plus résistants qui existent. Si nous établissions une liste de
toutes les propriétés de la toile d'araignée, celle-ci ferait des pages. Nous ne
mentionnerons que quelques caractéristiques concernant la soie d'araignée.
La toile de soie fabriquée par les araignées qui mesure seulement un
millième de millimètre d’épaisseur, est cinq fois plus résistante qu’un acier
de la même épaisseur. Elle peut être étirée jusqu’à cinq fois sa taille
d’origine. Elle est également si légère qu’une toile assez grande pour faire le
tour de la terre ne pèserait que 320 grammes. Tentons d’expliquer cet étrange
phénomène par divers procédés.
1
- Composition chimique
Il est possible de retrouver les caractéristiques de la soie d’araignée
dans d'autres matériaux, mais il est rare de les retrouver combinées dans un
même matériau à la fois résistant et élastique. En effet, les câbles d'acier
résistants ne sont pas aussi élastiques que le caoutchouc, et risquent de se
déformer avec le temps. Au contraire, les cordons en caoutchouc qui ne se
déforment pas facilement ne sont pas suffisamment résistants pour supporter de
lourdes charges.
Comment la toile tissée par une créature
aussi minuscule peut-elle posséder des propriétés supérieures au caoutchouc et
à l'acier, produit de l'accumulation des connaissances humaines depuis des
siècles ?
Les qualités supérieures de la soie
d'araignée proviennent essentiellement de sa structure chimique. Ce matériau
brut est constitué d’une protéine appelée kératine sous forme de chaine
hélicoïdale d'acides aminés relies les uns aux autres.
La
kératine est présente dans de nombreux éléments naturels tels que les cheveux,
les ongles, les plumes et la peau. Elle leur apporte sa caractéristique
principale : la haute protection. En outre, le fait que la kératine soit constituée
d'acides aminés reliés par des liaisons faibles d'hydrogène la rend très
élastique, comme le décrit le magazine américain science news : « à
l'échelle humaine, une toile pareille à un filet à poissons pourrait attraper
un avion de transport de passagers ».
Comme celle du ver à soie, la fibre des araignées est constituée d'un
subtil entremêlement de deux peptides, un mélange de deux composants :
-
le cristallin (composant très ordonné de couleurs rose)
-
l'amorphe (composant très désordonné de couleur bleu)
L'élément cristallin qui représente environ 10 à 25 % de la fibre et est
ainsi formé de l'assemblage de petits peptides de 6 à 10 acides aminés
contenant des répétitions d'alanine et de glycine.
On peut donc dire que ces peptides
s'organisent en cristaux de 2 à 5 nanomètres de côté grâce à des liaisons
hydrogènes entre différentes couches d'acides aminés superposés. Voici les
structures de la kératine :
Autre que la composition chimique, la
soie d'araignée possède différentes propriétés ; les fibres de soie sont
formées de fibroïnes (protéines filamenteuses) composées de copolymères à blocs
hydrophiles et hydrophobes. De plus, elle est un polymère dont la configuration
moléculaire peut varier et s'adapter à l'humidité ainsi qu’à la température.
2
- Construction mécanique
On peut envisager une construction mécanique d'une spirale d'Archimède représentant
le fil des spirales de la toile en posant la feuille de papier sur un socle
muni d'un mouvement uniforme autour d'un axe vertical passant par O. Le crayon
lui, s'éloigne du centre O suivant un mouvement rectiligne uniforme. Ainsi les
deux mouvements peuvent être liés par un système de vis sans fin.
De plus,
la spirale d'Archimède est conçue à partir du Théorème de Chasles. et En
prenant un point tracteur P situé à une distance à la droite égale au rayon R
du cercle, elle représente une roulette obtenue en faisant rouler une droite
sur un cercle de centre O et de rayon R.
La projection du point p sur la droite est une développante du cercle.
Cette
spirale symbolise le fil collant enroulé aux structures d’une toile d’araignée.
3
- Modélisation mathématique
La spirale du fil collant d’une toile d’araignée peut aussi être
modélisée par une spirale logarithmique :
Soit C2, la courbe représentant la
spirale logarithmique d'équation :
C2 = courbe (e^ (0,08t) cos(t),
(e^0,08t), sin(t), t, 0, 8)
Ainsi cette équation de la spirale
logarithmique n'est pas en coordonnées polaires mais en coordonnées
paramétriques.
La spirale Logarithmique :
La Spirale logarithmique se forme en utilisant une suite de
rectangles ou de triangles d’or emboîtés. On obtient facilement des tracés
approchés mais précis de spirales d’or, comme les autres spirales
logarithmiques, aussi appelées spirales équiangles.
Définition : La spirale
logarithmique est la courbe d'équation polaire r = aθ, où « a » est
une constante donnée et « θ » est l'angle polaire.
- soit une courbe dont l'angle tangentiel reste constant
- soit une courbe dont la courbure est inversement proportionnelle à l'abscisse curviligne
- soit une courbe dont le rayon de courbure est proportionnel ou supérieur au rayon vectoriel.
On peut aussi définir la spirale
logarithmique de façon cinématique comme trajectoire d'un point M se
déplaçant sur une droite passant par O avec une vitesse proportionnelle
à OM. Cette droite tourne elle-même uniformément autour de O ; ou
encore comme courbe en coordonnées polaires telle que lorsque l'angle polaire
croit de façon arithmétique, le rayon vecteur croit de façon géométrique.
La spirale logarithmique est aussi la projection stéréographique de pôle sud des loxodromies des sphères de centre O, faisant un angle avec les méridiens (puisque la projection stéréographique est une transformation conforme).
C'est enfin le développement plan d'une hélice d'un cône de révolution.
La spirale logarithmique présente une exceptionnelle stabilité vis à vis des transformations géométriques classiques.
4
- L'araignée géomètre
Autre que la spirale d'Archimède et la spirale logarithmique, on peut
également mathématiser la toile d'araignée sous forme de configuration
géométrique grâce à la spirale de Théodore de Cyrène, qui nous montre la
formalisation de la courbe obtenue en tentant de relier ses sommets par une
fonction dérivable.
De plus, dans ce système, on représente un point dans le plan cartésien
de coordonnées (x, y) en joignant ce point à l'origine et en mesurant l'angle
entre ce segment et l'horizontale (noté θ) et en mesurant également la distance
entre le point et l'origine (notée r):
On
a alors : x = r = cosθ et y = sinθ.
Ces deux variables sont supposées
positives, pour obtenir un enroulement et décrire une fonction spirale, il
faudra choisir r comme fonction croissante de θ. Les candidats en matière de
fonction croissante en mathématiques ne sont pas légions. Les plus courantes
sont les droites de pentes positives et les exponentielles. Ce sont également
les choix qui ont été faits pour construire les spirales.
En choisissant pour r une fonction
linéaire (r=a+bθ, avec a et b des paramètres convenablement choisis), on obtient
la spirale d'Archimède.
En choisissant une fonction
exponentielle (r= aeьθ avec a et b des paramètres adéquats), on obtient la spirale
logarithmique.
On peut donc vérifier que la spirale d'Archimède ainsi construite est
très proche de celle de Théodore de Cyrène. Elle s'en éloigne peu à peu à
mesure que θ croît mais, pour des valeurs inférieures à 4Π, l'approximation est
excellente.
Voilà
donc le problème réglé : dans les toiles, les zone tissées de fil épais qui
servent à engluer les proies, l’écartement constant entre chaque peut être modélisé
selon des spirales d'Archimède